程序员的数学

2019-04-09 张子阳 推荐:

去年我想了解一下这几年异常火热的人工智能方面的相关技术，在看了几本科技人文类型的书籍（例如《数据之巅》、《智能时代》）之后，买了一本教科书型的《机器学习》。然后却悲剧了... 因为我发现数学知识的不足阻碍了我流畅地阅读和理解这本书。很多人认为“不着急”是一个缺点，但我觉得有时候也是一个优点，不着急不意味着放弃，而是有一个长期奋战的准备。所以，我开始不着急读这本书，而是打算复习一下数学，以达到可以顺利看完这本书的程度。

然后从何看起呢？起初我打算重新复习下大学学过的数学三剑客：《高等数学》、《线性代数》、《概率论和数理统计》，但觉得周期可能过于漫长了，所以觉得还是曲线救国一下。于是买了这系列的三本书（另外两本的副标题分别是“概率统计”和“线性代数”），想要尽可能快速地复习一遍。因为重新复习数学不是为了研究，是为了能顺利学习机器学习(以及深度学习等)，并进行相关的编程，因此也不追求过于深入，所以我觉得是合适的。

顺便一提，就算不学习机器学习，数学也是一个要长期学习的科目。再说一下《穷查理宝典》这本书，查理芒格在强调构建思维体系的时候，就建议搭建4个领域的知识模型：经济、会计、数学、心理。我也是打算将这四个学科作为计算机技术以外长期学习的方向。

闲扯了这么远，我们继续说回这本书。先说结果：我的如意算盘落空了，这本书过于基础，达不到我之前的期望。不知道这本书初中生能读不，但是高中生肯定可以。虽然读完也能有一些收获，但却比较少，好处是你不需要花很久，大概2天的时间，就可以通读完这本书。显然，我需要继续读本系列的其他两本书。

这本书分了9个章节，讨论了和程序员相关性比较高的数学问题。每个章节相对独立，即使挑选着一些章节阅读也不存在太大问题（不过好像很多技术书都是如此，和小说很不同）。

第1章，讲了数制，先讲了十进制，然后讲了十机制和二进制的转换。

第2章，逻辑。讲了命题和命题的真假、规则的完整性和排他性。由此，引申出了程序中的if判断语句，以及需要额外关注的边界值。还讲解判断复杂命题真假的工具：真值表和文氏图。

这章还讲了常见的逻辑关系：非、或、与、异或、相等、蕴含、这里比较难理解的是蕴含关系：若A则B。假设A命题是：乘客年龄为10岁以上，B命题是：乘客年龄为6岁以上，则它们的蕴含关系的真值表是这样的：

不满足“如果A，则B”这一命题的条件就是：A为true，而B为false的情况。当A为true，B为true时显然满足；而当A为false时，也满足。因为前提是：“如果A”，而A为false时，则不满足前提，所以不论B是真是假，都满足。

第3章，余数。这部分主要讲了使用余数去进行分组。去解决类似“今天是周一，1000天后是周几的问题”。还讲了奇偶校验和哥尼斯堡七桥问题。

第4章，数学归纳法。这部分高中数学都讲过了，又复习了一遍。作者举了个例子很有趣：数学归纳法就好像推倒多米诺骨牌。如果：1)第1张牌可以推倒；2)推倒其中的任何1张，它后面那张也会倒。那么就可以推倒全部的骨牌。

第5章，这部分讲了排列组合。这部分补充了一个概念，就是：置换。我记得以前学这里的时候，只有排列和组合，没有置换。这三个的定义和转换大体是这样的，因为符号不好敲，我就语言描述了：

• 置换：将n个事物进行排序，不同顺序的种类。按照乘法原理，结果是：n * (n-1) * (n-2) * ... * 1 = n!。
• 排列：从n个事物中取k个，考虑顺序。按照乘法原理，结果是：n * (n-1) * ... * (n-k+1)
• 组合：从n个事物中取k个，不考虑顺序。这就分成了两个步骤：先取排列，再除以重复计算的部分。而重复计算的部分，就是所选k个事物中重复的。其重复度，就是置换数，即k!。

第6章，这部分用汉诺塔为例子，讲解了递归。

第7章，讲了指数爆炸和对数，指数的简便运算方法。以及和对数相关的两分查找。这里比较有意思的是使用指数法则，将乘法转换为加法。

10^a * 10^b = 10^a+b

所以如果要计算两个值：1000 * 10000，可以先取对数相加：3+4=7，然后再做指数运算 10⁷。

第8章，是比较烧脑的一章。这章讲了反证法、可数和不可数、并由停机问题引出了无法编写的程序，即计算机无法解决的问题。这一章主要证明了并不是所有问题都可以藉由程序来解决。但实际工作中，几乎很少去考虑这种情况。

大概的内容就这些，总得来说，过于简单了。剩下的两本应该会更有难度一些吧。

感谢阅读，希望这篇文章能给你带来帮助！